Die Bestimmung, welche Untergruppen eine Gruppe enthält, ist eine Möglichkeit, ihre Struktur zu verstehen. Zum Beispiel Untergruppen von Z6 sind 0, 0, 2, 4 und 0, 3: die triviale Untergruppe, die Vielfachen von 2 und die Vielfachen von 3. In der Gruppe D6Rotationen bilden eine Untergruppe, Spiegelungen jedoch nicht. Dies liegt daran, dass zwei nacheinander durchgeführte Spiegelungen eine Drehung und keine Spiegelung erzeugen, so wie die Addition zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt.
Bestimmte Arten von Untergruppen, sogenannte „normale“ Untergruppen, sind für Mathematiker besonders nützlich. In einer kommutativen Gruppe sind alle Untergruppen normal, was jedoch allgemeiner nicht immer zutrifft. Diese Untergruppen behalten einige der nützlichsten Eigenschaften der Kommutativität bei, ohne dass die gesamte Gruppe kommutativ sein muss. Wenn eine Liste von Normalteilern identifiziert werden kann, können die Gruppen auf die gleiche Weise in Komponenten unterteilt werden, wie ganze Zahlen in Produkte von Primzahlen unterteilt werden können. Gruppen, die keine Normalteiler haben, werden einfache Gruppen genannt und können nicht weiter zerlegt werden, ebenso wie Primzahlen nicht faktorisiert werden können. Die Gruppe ZN ist nur dann einfach, wenn N ist eine Primzahl: Vielfache von 2 und 3 bilden beispielsweise Normalteiler in Z6.
Allerdings sind einfache Gruppen nicht immer so einfach. „Das ist die irreführendste Bezeichnung in der Mathematik“, sagte Hart. Im Jahr 1892 schlug der Mathematiker Otto Hölder vor, dass Forscher eine vollständige Liste aller möglichen endlichen einfachen Gruppen erstellen sollten. (Unendliche Gruppen wie ganze Zahlen bilden einen eigenen Studienbereich.)
Es stellt sich heraus, dass fast alle endlichen einfachen Gruppen so aussehen ZN (für die Primwerte von N) oder einer der beiden anderen Familien angehören. Und es gibt 26 Ausnahmen, sogenannte sporadische Gruppen. Es hat mehr als ein Jahrhundert gedauert, sie zu identifizieren und zu zeigen, dass es keine anderen Möglichkeiten gibt.
Die größte sporadische Gruppe, treffend Monstergruppe genannt, wurde 1973 entdeckt. Sie umfasst mehr als 8 × 1054 Elemente und stellt geometrische Rotationen in einem Raum von fast 200.000 Dimensionen dar. „Es ist einfach verrückt, dass dieses Ding von Menschen entdeckt werden konnte“, sagte Hart.
In den 1980er Jahren schien ein Großteil der von Hölder geforderten Arbeiten abgeschlossen zu sein, es war jedoch schwierig nachzuweisen, dass es in der Gegend keine sporadischen Gruppen mehr gab. Die Klassifizierung verzögerte sich weiter, als die Community 1989 Lücken in einem 800-seitigen Beweis aus den frühen 1980er Jahren entdeckte. Im Jahr 2004 wurde schließlich ein neuer Beweis veröffentlicht, der die Klassifizierung vervollständigte.
Viele Strukturen in der modernen Mathematik (z. B. Ringe, Körper und Vektorräume) entstehen, wenn den Gruppen mehr Struktur hinzugefügt wird. In Ringen kann man sowohl multiplizieren als auch addieren und subtrahieren; In Feldern ist auch eine Aufteilung möglich. Doch hinter all diesen komplexeren Strukturen verbirgt sich dieselbe ursprüngliche Gruppenidee mit ihren vier Axiomen. „Der Reichtum, der mit diesen vier Regeln innerhalb dieser Struktur möglich ist, ist überwältigend“, sagte Hart.
Originelle Geschichte Nachdruck mit Genehmigung des Quanta Magazine, einer redaktionell unabhängigen Publikation von Simons-Stiftung Deren Aufgabe ist es, das öffentliche Verständnis der Wissenschaft zu verbessern, indem sie Forschungsentwicklungen und Trends in der Mathematik sowie den Physik- und Biowissenschaften abdeckt.