Die mathematische Magie des Kurvenzählens

Wie bestimmen Sie, welche Punkte auf einer bestimmten Kurve liegen? Und wie viele mögliche Kurven können wir für eine gegebene Anzahl von Punkten zählen? Mit solchen Fragen beschäftigte sich Pim Spelier vom Institut für Mathematik in seiner Doktorarbeit. Spelier erhielt am 12. Juni seinen Doktortitel mit Auszeichnung.

Was bedeuten Zählkurven an einem normalen Tag? „Ich sitze viel und schaue zu“, antwortet Spelier. „Wenn Leute mich fragen, was genau ich mache, kann ich nicht immer so einfach antworten. Im Allgemeinen nenne ich das Beispiel des Teilchens, das durch die Zeit reist. »

Alle möglichen Kurven

Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das sich durch den Raum bewegt, und verfolgen Sie den Weg, den es im Laufe der Zeit nimmt. Dieser Pfad ist eine Kurve, ein geometrisches Objekt. Wie viele mögliche Wege kann das Teilchen nehmen, wenn wir bestimmte Eigenschaften annehmen? Beispielsweise kann eine Gerade nur durch zwei Punkte in einer Richtung verlaufen. Aber wie viele Wege sind für das Teilchen möglich, wenn wir komplexere Kurven betrachten? Und wie studieren wir das?

Indem alle möglichen Kurven gleichzeitig beobachtet werden. Beispielsweise bilden alle möglichen Richtungen von einem bestimmten Punkt aus einen Kreis zwischen sich, und dies wird Modulraum genannt. Und dieser Kreis ist selbst ein geometrisches Objekt.

Mathematische Magie kann geschehen, weil dieser Kurvensatz selbst geometrische Eigenschaften hat, erklärt Spelier, auf die geometrische Tricks angewendet werden können. Dann können wir dies mit noch komplexeren Kurven und Räumen viel komplizierter machen. Also nicht in drei, sondern beispielsweise in elf Dimensionen.

Spelier versucht, Modelle zu finden, die noch auf die von ihm untersuchten Kurven anwendbar sind. Sein Ansatz? Teilen Sie komplizierte Räume in kleine, einfache Räume auf. Wir können Kurven auch in Teilkurven zerlegen. Auf diese Weise sind die Felder, in denen man zählt, einfacher. Aber Kurven haben manchmal komplizierte Eigenschaften, weil man sie wieder zusammensetzen kann.

Spelier erklärt: „Ziel ist es, genügend Prinzipien zu finden, um die Anzahl der Kurven genau zu bestimmen. »

Suche nach Beweisen für Punkte auf Kurven

Neben Kurven zählte Spelier auch Punkte auf Kurven. Er untersuchte die Frage: Wie viele Lösungen hat eine gegebene mathematische Gleichung?

Dies sind Gleichungen, die etwas komplizierter sind als die a² + b² =c² des Satzes des Pythagoras. Diese Gleichung befasst sich mit den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Wenn Sie die Quadrate durch höhere Potenzen ersetzen, ist es schwieriger, die Lösungen zu studieren. Spelier untersuchte Lösungen in ganzen Zahlen, zum Beispiel 3² +4² = 5².

Jetzt gibt es eine Methode, diese Lösungen zu finden. Der 2022 verstorbene Mathematikprofessor Bas Edixhoven und sein Doktorand Guido Lido entwickelten einen alternativen Ansatz für dasselbe Problem. Es war jedoch noch nicht klar, inwieweit die beiden Methoden übereinstimmten oder voneinander unterschieden. Während seiner Doktorarbeit entwickelte Spelier einen Algorithmus zur Untersuchung dieser Frage.

Die erste Person mit einer Antwort

Die Entwicklung dieses Algorithmus ist zur Implementierung der Methode notwendig. Wenn Sie es von Hand machen möchten, erhalten Sie seitenweise Gleichungen. Edixhovens Methode verwendet algebraische Geometrie. Mit cleveren Geometrie-Tricks können Sie die gesamte Anzahl der Punkte auf einer bestimmten Kurve genau berechnen. Spelier hat bewiesen, dass die Edixhoven-Lido-Methode besser ist als die alte.

David Holmes, Professor für reine Mathematik und Leiter der Dissertation von Spelier, begrüßt die angebotene Demonstration. „Wenn man der Erste ist, der eine Frage beantwortet, die jeder in unserer Community beantwortet haben möchte, ist das sehr beeindruckend. Pim beweist, dass diese beiden Methoden zum Finden rationaler Punkte ähnlich sind, ein Problem, das Mathematiker wirklich beschäftigt hat. »

Machen Sie gemeinsam Mathe

Der beste Teil Ihrer Promotion? Treffen mit seinem Dissertationsleiter. Nach dem ersten Jahr ging es sowohl für Spelier als auch für Holmes mehr um Zusammenarbeit als um Aufsicht. Spelier sagt: „Gemeinsam Mathe machen macht immer mehr Spaß als alleine.“ »

Spelier beginnt im September als Postdoc in Utrecht und ist offenbar noch nicht mit der Zählung fertig. Nachdem er Punkte und Kurven gezählt hat, wird er bald mit dem Zählen von Flächen beginnen.