„Gem“-Beweis bricht 80 Jahre alten Rekord und bietet neue Einblicke in Primzahlen

Die Originalversion von diese Geschichte erscheint in Quanta-Magazin.

Manchmal versuchen Mathematiker, ein Problem direkt anzugehen, und manchmal machen sie es falsch. Dies gilt insbesondere dann, wenn der mathematische Einsatz hoch ist, wie im Fall der Riemann-Hypothese, deren Lösung mit einem Millionenpreis vom Clay Mathematics Institute verbunden ist. Seine Demonstration würde den Mathematikern viel mehr Gewissheit darüber geben, wie Primzahlen verteilt sind, und gleichzeitig eine Reihe anderer Konsequenzen mit sich bringen, was sie wohl zur wichtigsten offenen Frage in der Mathematik machen würde.

Mathematiker wissen nicht, wie sie die Riemann-Hypothese beweisen können. Sie können jedoch dennoch nützliche Ergebnisse erzielen, indem sie einfach zeigen, dass die Anzahl möglicher Ausnahmen begrenzt ist. „In vielen Fällen ist sie möglicherweise genauso gut wie die Riemann-Hypothese selbst“, sagte James Maynard von der Universität Oxford. „Damit können wir ähnliche Ergebnisse für Primzahlen erzielen. »

In einem bahnbrechenden Ergebnis, das im Mai online veröffentlicht wurde, legten Maynard und Larry Guth vom Massachusetts Institute of Technology eine neue Obergrenze für die Anzahl der Ausnahmen einer bestimmten Art fest und brachen damit endlich einen Rekord, der mehr als 80 Jahre zuvor aufgestellt wurde. „Das ist ein sensationelles Ergebnis“, sagte Henryk Iwaniec von der Rutgers University. „Es ist sehr, sehr, sehr schwierig. Aber es ist ein Juwel. »

Der neue Beweis führt automatisch zu besseren Annäherungen an die Anzahl der Primzahlen, die in kurzen Abständen auf der Zahlengeraden existieren, und bietet viele weitere Einblicke in das Verhalten von Primzahlen.

Ein vorsichtiger Seitenschritt

Die Riemannsche Hypothese ist eine Aussage über eine zentrale Formel der Zahlentheorie, die Riemannsche Zetafunktion. Die Zeta-Funktion (ζ) ist eine Verallgemeinerung einer einfachen Summe:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯.

Diese Reihe wird beliebig groß, wenn ihr immer mehr Terme hinzugefügt werden – Mathematiker sagen, sie divergiert. Aber wenn Sie stattdessen zusammenfassen würden

1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 +⋯

du würdest π erhalten²/6 oder etwa 1,64. Riemanns überraschend kraftvolle Idee bestand darin, eine Serie wie diese in eine Funktion umzuwandeln, wie diese:

ζ(M) = 1 + 1/2^M + 1/3^M + 1/4^M + 1/5^M + ⋯.

Also ist ζ(1) unendlich, aber ζ(2) = π²/6.

Richtig interessant wird es, wenn man es zulässt M sei eine komplexe Zahl, die aus zwei Teilen besteht: einem „realen“ Teil, der eine aktuelle Zahl ist, und einem „imaginären“ Teil, der eine aktuelle Zahl multipliziert mit der Quadratwurzel von −1 ist (oder ICHwie Mathematiker schreiben). Komplexe Zahlen können auf einer Ebene dargestellt werden, wobei der Realteil auf der Ebene liegt X-Achse und der Imaginärteil auf der Und-Achse. Hier ist es zum Beispiel 3 + 4ICH.